私法上の法律関係に関する訴訟とは

私法上の法律関係に関する訴訟とは民事訴訟のことです。
その民事訴訟で行政処分の効力の有無が争われる訴訟を争点訴訟といいます。
つまり私法上の法律関係に関する訴訟について、行政処分の効力の有無が争われる訴訟が争点訴訟です。
私法上の法律関係に関する訴訟は単なる民事訴訟です。

争点訴訟の例として土地収用裁決の効力を争う場合があります。
土地収用裁決は行政処分にあたります→行政処分の効力の有無。
市を被告とした土地の所有権の確認→民事＝私法上の法律関係。
土地の所有権の確認をするには土地収用裁決の無効が前提でなくてはならないからです。

ちなみに争点訴訟と似ている形式的当事者訴訟との違いですが、
争点訴訟が行政処分の効力の有無を前提として争うのに対して、
形式的当事者訴訟は行政処分は有効であることを前提として私人と私人で争うことです。

さらに実質的当事者訴訟は行政処分が有効か無効であることを国と私人で争うことです。
国と私人で争う関係を公法上の法律関係といいます。